整理一下密码学常用的抽代知识。分成两个部分：基本框架、重要内容。
我在B站上录制了一个课程（建议1.5倍速），2小时即可快速回顾抽代知识：密码学的数学基础：课程简介
基本框架和语言
几个重要术语：代数结构、子结构、同态、商结构
在线性代数中对应：线性空间、子空间、线性映射、商空间
| 代数结构 | 子结构 | 同态 | 商结构 |
|---|---|---|---|
| 群 | 子群 | 群同态 | 正规子群->商群 |
| 环 | 子环 | 环同态 | 理想->商环 |
| 域 | 子域 | /（同上） | /（同上） |
| 线性空间 | 子空间 | 线性映射 | 商空间 |
直积（直和）、生成子集对应线性代数中的直和、基。
其他重要内容
群、环
- 拉格朗日定理——费马小定理、欧拉定理
- 同构第一定理——$\mathbb{Z}_{N} \cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$（模运算）、中国剩余定理
- 循环群——离散对数问题
- 多项式环——NTRU、多变量公钥
- 一些概念：整环、除环、域、主理想、素理想、极大理想…
域
素域、域的特征
由整环构造域：分式域、$R/M$ ( $PID$ 中 $R/(p)$ )
域的分类：按元素个数分为有限域、无限域，可用特征区分
域的扩张：代数扩张与有限扩张、超越扩张与无限扩张
多项式的分裂域，例如 $\mathbb{R}$ 上 $x^2+1$ 的分裂域，$x^n - 1$ 的分裂域。
有限域的结构：子域格、$\mathbb{F}_q$ 作为向量空间，$\mathbb{F}_q$ 作为分裂域、本原元
一般有限域的结论（与$\mathbb{F}_p$类似）：费马小定理、欧拉定理、Wilson定理…
有限域上的运算、元素的表示
本原多项式——LFSR相关理论、周期计算等