整理一下密码学常用的抽代知识。分成两个部分：基本框架、重要内容。

这是密码学常用的抽代知识清单。分成两个部分：基本框架、重要内容。

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基本框架和语言

几个重要术语：代数结构、子结构、同态、商结构

在线性代数中对应：线性空间、子空间、线性映射、商空间

代数结构	子结构	同态	商结构
群	子群	群同态	正规子群->商群
环	子环	环同态	理想->商环
域	子域	/（同上）	/（同上）
线性空间	子空间	线性映射	商空间

直积（直和）、生成子集对应线性代数中的直和、基。

其他重要内容

群、环

• 拉格朗日定理——费马小定理、欧拉定理
• 同构第一定理——$\mathbb{Z}_{N} \cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$（模运算）、中国剩余定理
• 循环群——离散对数问题
• 多项式环——NTRU、多变量公钥
• 一些概念：整环、除环、域、主理想、素理想、极大理想…
• $UFD \geq PID \geq ED$

域

• 素域、域的特征

• 由整环构造域：分式域、$R/M$ ( $PID$ 中 $R/(p)$ )

• 域的分类：按元素个数分为有限域、无限域，可用特征区分

• 域的扩张：代数扩张与有限扩张、超越扩张与无限扩张

• 多项式的分裂域，例如 $\mathbb{R}$ 上 $x^2+1$ 的分裂域，$x^n - 1$ 的分裂域。

• 有限域的结构：子域格、$\mathbb{F}_q$ 作为向量空间，$\mathbb{F}_q$ 作为分裂域、本原元

• 一般有限域的结论（与$\mathbb{F}_p$类似）：费马小定理、欧拉定理、Wilson定理…

• 有限域上的运算、元素的表示

• 本原多项式——LFSR相关理论、周期计算等